Home
  education - חינוך





הוראת המדעים והמתמטיקה בכיתות ח' בישראל באמצע שנות ה-‏90


פנחס תמיר, שרי זיו ודורית פטקין, גיליון ‏13



מתמטיקה

ממצאים

הישגים לימודיים

במאמר זה מוצגים ממצאים המתארים הישגים של למידי כיתות ח' בישראל בנושאים השונים
במתמטיקה בהשוואה לכלל ‏41 המדינות המשתתפות במחקר. לוח ‏7 מציג את ההישגים לפי נושאים:
שברים ומשמעות המספר, גאומטריה, אלגברה, הצגת נתונים וניתוחם והסתברות, מדידות ופרופורציה.

ייצוג הנושאים "מדידות" ו"פרופורציה" בפריטים היה נמוך בהשוואה לנושאים אחרים, וגם ההישגים
בהם היו נמוכים. יש להניח שנושאים אלה נחשבים קשים יותר לתלמידים מנושאים אחרים. בולטת
העובדה שבאלגברה ממוצע ההישגים של תלמידי ישראל גבוה מזה הבינלאומי, בעוד שאין הבדל גדול
בממוצע הכולל במתמטיקה בין ישראל לכלל המדינות (‏57, 55 בהתאמה).

לוח ‏7

ממוצע ההישגים במתמטיקה (באחוזים) בכיתות ח' בחלוקה לפני נושאים

N = 1415
ציון ממוצע*
מספר הפריטים
הנושא
כלל ‏41 המדינות
ישראל
58 (0.1) 60 (1.4) 51
שברים ומשמעות המספר
56 (0.1) 57 (1.4) 23
גאומטריה
52 (0.2) 61 (1.6) 27
אלגברה
62 (0.1) 63 (1.3) 21
הצגת נתונים וניתוחם והסתברות
51 (0.1) 48 (1.6) 18
מדידות
45 (0.2) 43 (1.6) 11
פרופורציה
55 (0.1) 57 (1.3) 151
מתמטיקה כללי


* בסוגריים: שגיאת תקן

במסגרת מאמר זה נבחרו להשוואה עם ישראל מדינות אחדות. הבחירה באוסטרליה, באנגליה, בהולנד,
בארצות-הברית ובסינגפור נעשתה מתוך ניסיון לשמור על עקביות ביחס לפרק המקביל העוסק בהישגים
במדעים (ראו לוחות ‏2, 3 לעיל). ואילו כאן, בפרק העוסק במתמטיקה, נוספו גרמניה ויפן - האחת
כמדינה בעלת מסורת הוראה אירופית והאחרת כבעלת מסורת הוראה מזרח-אסייתית.

לוח ‏8

אחוז התשובות הנכונות במתמטיקה בכיתה ח' במבחר מדינות בחלוקה לפי נושאים*
ממוצע כולל
מתמטיקה
פרופורציה
מדידות
הצגת נתונים
וניתוחם, הסתברות
אלגברה
גאומטריה
שברים,
משמעות
המספר

53 (1.1) 42 (1.1) (1.1)
40
65 (1.1) (1.2)
51
48 (1.2) 59 (1.1)
ארה"ב
53 (0.7) 41 (1.1) (0.9)
50
66 (0.7) (0.9)
49
54 (1.0) 54 (0.8)
אנגליה
54 (1.1) 42 (1.3) (1.1)
51
64 (1.2) (1.3)
48
51 (1.4) 58 (1.1)
גרמניה
57 (1.3) 43 (1.6) (1.6)
48
63 (1.3) (1.6)
61
57 (1.4) 60 (1.4)
ישראל
58 (0.9) 47 (0.9) (1.0)
54
67 (0.8) (1.0)
55
57 (1.0) 61 (0.9)
אוסטרליה
60 (1.6) 51 (1.9) (1.6)
57
72 (1.7) (1.6)
53
59 (8.1) 62 (1.6)
הולנד
73 (0.4) 61 (0.5) (0.5)
67
78 (0.4) (0.6)
72
80 (0.4) 75 (0.4)
יפן
79 (0.9) 75 (1.0) (1.0)
77
79 (0.8) (1.1)
76
76 (1.0) 84 (0.8)
סינגפור


* בסוגריים: שגיאת תקן

מלוח ‏8 ניתן לראות שהתפלגות ההישגים בענפי המתמטיקה השונים נעה בין %‏40 (ארה"ב, מדידות)
ל-%‏84 (סינגפור, משמעות המספר ושברים), כאשר יפן וסינגפור, ככלל, הגיעו להישגים הגבוהים
ביותר. כמעט בכל המדינות נתקבלו הישגים גבוהים ביותר בהצגת נתונים וניתוחם ובהסתברות,
ונמוכים ביותר - בפרופורציה.

בכל הנושאים, הציונים הממוצעים של ישראל קרובים מאוד לציונים של כלל המדינות המשתתפות,
והם גבוהים מאלה של ארצות-הברית, גרמניה והולנד.

ניתן להציג את ההישגים במתמטיקה, כמו את הישגי המדעים, בעזרת רמת הסמנים הבינלאומיים (ראו
עמ' ‏225 לעיל). לוח ‏9 מציג את ההישגים במתמטיקה בחלוקה לקריטריונים של שלושת הסמנים.

לוח ‏9

אחוז תלמידי כיתה ח' במבחר מדינות שהישגיהם במתמטיקה

מגיעים לרמת הסמנים הבינלאומיים:

%‏10 בעלי הציונים הגבוהים ביותר (עשירון עליון); %‏25 הגבוהים ביותר (רבעון עליון)

ו-%‏50 הגבוהים ביותר (חציון עליון)*
סמן %‏50 (חציון)
סמן %‏25
סמן %‏10

45 (2.3) 18 (1.5) 5 (0.6)
ארצות הברית
48 (1.4) 20 (1.1) 7 (0.6)
אנגליה
49 (2.3) 20 (1.7) 6 (0.7)
גרמניה
56 (2.6) 24 (2.5) 6 (0.9)
ישראל
57 (1.7) 29 (1.5) 0.9 11)
אוסטרליה
63 (3.2) 30 (2.7) 10 (1.6)
הולנד
83 (0.6) 58 (0.9) 32 (0.8)
יפן
94 (0.8) 74 (2.1) 45 (2.5)
סינגפור


* בסוגריים: שגיאת תקן

הנתונים בלוח ‏9 מראים שהתפלגות הישגי התלמידים בישראל בכיתות ח' בעשירון העליון נמוכה
מהתפלגות כלל האוכלוסיה (רק %‏6). אולם ברבעון העליון ובחציון העליון של האוכלוסיה ההישגים
כמעט זהים להתפלגות ההישגים בכלל המדינות. לעומת זאת בסינגפור הגיעה כמחצית מהאוכלוסיה
(%‏45) לרמת ההישגים אליה הגיעו רק %‏10 מכלל הנבדקים בכל הארצות, ואילו ביפן הגיעו כמעט
שליש (%‏32) להישגים אלה. לפי קני מידה אלה, נמוכים ההישגים של התלמידים בישראל מאלה של
אוסטרליה, הולנד, יפן, סינגפור, אך טובים מאלה של אנגליה, גרמניה וארצות-הברית.

הבדלים בין בנים לבנות

במחקר הנוכחי (TIMSS) נבדקו ההבדלים בהישגי הבנים והבנות, ונמצא שגם בנושאי המתמטיקה,
כמו בנושאי המדעים (לוח ‏4), לבנים יתרון על הבנות.

לוח ‏10

השוואה בין בנים לבנות בהישגים במתמטיקה

מחקר בינ"ל שלישי TIMSS

הפרש באחוזים
ציון *בנות
ציון * בנים
הנושא
6 58 (1.6) 64 (1.6)
שברים ומשמעות המספר
6 55 (1.8) 61 (1.3)
גאומטריה
4 59 (1.9) 63 (1.7)
אלגברה
7 60 (1.6) 67 (1.6)
הצגת נתונים וניתוחם, הסתברות
6 46 (1.8) 52 (1.9)
מדידות
8 40 (1.6) 48 (2.0)
פרופורציה
6 55 (1.5) 61 (1.5)
ציון כללי


* בסוגריים: שגיאת תקן



מתוך הנתונים בלוח ‏10 עולה כי קיימים הבדלים עקביים בהישגים בכל ענפי המתמטיקה השונים
לטובת הבנים: באלגברה היתרון שלהם קטן יחסית (%‏4) והוא עולה ומגיע לשיא בנושא פרופורציה
(%‏8). בחינת נתוני ההישגים של כלל ‏41 המדינות שהשתתפו ב- TIMSS מעלה שאצל רובן קיים פער
לטובת הבנים, אולם הפער הגדול ביותר קיים במדינת ישראל.

בין המחקר השני (SIMS) למחקר הנוכחי (TIMSS), כמו בהוראת המדעים, נעשו במדינות רבות
בעולם שינויים בתכניות הלימודים והושקעו משאבים רבים בשיפור דרכי ההוראה ובקידום הישגי
התלמידים. אמנם בארצות-הברית, לדוגמה, הצטמצם הפער בין המינים, בעוד שבישראל הוא גדל באופן
מובהק.

תוצאות המחקר השני במתמטיקה (SIMS) מתייחסות להבדלים בין הישגי הבנים והבנות בכיתות ח'
ו-י"ב. פרופ' א' לוי (‏1982) אומר: "הנתונים מגלים, שהמתאמים בין מין התלמיד להישגיו במתמטיקה
נמוכים, אך בכל זאת בכיתה י"ב מגיע המתאם לרמה גבוהה יותר מאשר בכיתה ח'. כנראה קיימת
השפעה מצטברת של תפיסת המקצוע בתחום הלימוד הגברי".

גוטווריץ (‏1989, עמ' ‏41) מדווחת כי בין הגורמים הנמנים בספרות כבעלי פוטנציאל להשפיע על
ההבדלים בכושר הביצוע במבחנים מתמטיים נמצאו אלה: היעדר ביטחון עצמי אצל בנות ביכולת ללמוד
מתמטיקה, סטראוטיפיות לגבי תפקידי נשים וגברים בחברה, מידת גיבוש הזהות המינית, מידת
השימושיות של המתמטיקה ועוד. עובדה זו מחייבת לבדוק מחדש את תכנית הלימודים ודרכי הוראת
המתמטיקה בבית הספר היסודי ובחטיבה העליונה, לפתח דרכי הוראה וחומרי למידה וכן ליזום
פעילויות שיעודדו בנות, יגבירו את ביטחונן ויעלו את הישגיהן בתחום.

עמית ומובשוביץ-הדר (‏1989, עמ' ‏361), שבדקו מהם ההבדלים בין בנים לבנות בייחוס סיבות
להצלחה ולכישלון בלימודי המתמטיקה, העלו את המסקנות הבאות: "בנות, יותר מבנים, מייחסות את
כישלונן במתמטיקה להיעדר יכולת אישית, ואת הצלחתן - למאמץ שהשקיעו, לקלות המשימה או
לסביבה. בנים, יותר מבנות, מייחסים את הצלחתם במתמטיקה ליכולת אישית. נוסף לכך, גם כאשר
בנים ובנות משיגים הישגים דומים במתמטיקה, הם נבדלים בייחוס סיבות להישגים אלה. ההבדלים
בייחוס סיבות להצלחה ולכישלון בולטים במיוחד אצל תלמידים בעלי הישגים גבוהים".

הנלמד לעומת הלא נלמד

הזדמנויות הלמידה מהוות משתנה מרכזי ובעל השפעה רבה על ההישגים במחקרי הערכה בחינוך.
במחקר TIMSS, במתמטיקה כמו במדעים (ראו עמ' ‏222), מוינו פריטי המבחןלפי הקריטריון; האם
הם נכללים בנושאים מתכנית הלימודים אם לאו. הישגי התלמידים, כפי שניתן בדרך כלל לצפות, יהיו
גבוהים בחומר שנלמד בבית הספר לעומת חומר שלא נלמד. אולם, אין בית הספר מקור יחידי לרכישת
ידע. מחוץ לכתליו מתנהלת למידה בלתי פורמלית, שתוצאותיה גם הן באות לידי ביטוי בהישגי
התלמידים במחקרי הערכה.

במחקרIEA השני במתמטיקה (SIMS) נמצא כי בנושא הסימטריה, שלא נלמד בבית הספר על פי תכנית
הלימודים, היו הישגי התלמידים טובים והם "כיסו חומר זה מהתנסויותיהם בחיי היום-יום, וידעו
לענות על שאלות אלה" (לוי, ‏1982, עמ' ‏30). במחקר הנוכחי נתקבלה תמונה דומה. הסתברות היא
אמנם נושא שנכלל בתכנית הלימודים במתמטיקה בכיתות ח', אולם למרות שאינו זוכה לטיפול רב
בקרב המורים המלמדים, ואף יש מורים שאינם מלמדים אותו כלל, נמצאו הישגי התלמידים גבוהים
באופן יחסי. גם הפעם ניתן להניח שלתלמידים הייתה הזדמנות לרכוש ידע מסוים בנושא זה מחוץ
לכותלי ביה"ס, והם בעלי ידע קודם או כללי במתמטיקה.

תמונה דומה נתקבלה גם לגבי שני הפריטים מתחום הגאומטריה שעסקו בדמיון משולשים. אף כי על פי
תכניות הלימודים חומר זה נלמד בכיתות גבוהות יותר, ידעו תלמידים להשיב על פריטים אלה.

שגיאות נפוצות, טעויות ותפיסות מוטעות

במסגרת הוראת המתמטיקה משקיעים באיתור תפיסות מוטעות ושגיאות שכיחות. רווחת הדעה
שהוראה תוך התייחסות לשגיאות, לטעויות ולתפיסות מוטעות הופכת את הלמידה למשמעותית. גם לגבי
פריטי המתמטיקה, כמו בניתוח ממצאי המדעים, נקבע שמסיח שבחרו בו לפחות %‏15 מאלה שענו על
הפריט, ייחשב כ"מושג שגוי פוטנציאלי" (ראו עמ' ‏229 לעיל). התמודדות עם מסיחים שנקבעו כמושגים
שגויים פוטנציאליים, עשויה לשפוך אור על הבנת הלומדים וקשייהם.

זיהוי השגיאות הנפוצות, הטעויות והתפיסות המועטות נעשה בכל הנושאים שנכללו במבחנים: שברים
ומשמעותם, גאומטריה, אלגברה, הצגת נתונים וניתוחם והסתברות, מדידות ופרופורציה.

א. שברים ומשמעות המספר

בנושא זה היו ‏51 פריטים: שברים וייצוגם (‏14 פריטים), מציאת מכנה משותף של שברים (‏14
פריטים), מספרים עשרוניים (‏8 פריטים), אומדן ומשמעות המספר (‏15 פריטים). השאלות עסקו
בנושאים הבאים: משמעות השבר, ארבע פעולות בשברים פשוטים ובמספרים עשרוניים, אומדן, עיגול.
בתוך נושאים אלה שולבו בעיות מילוליות חד-שלביות ורב-שלביות. מרבית השאלות היו רבות-בחירה.
נמצא שבכל הפריטים שעסקו במשמעות השבר הפשוט היו אחוזי הצלחה גבוהים יותר, ומכאן אפשר
להסיק שהתלמידים שולטים בנושא זה טוב יותר. להלן הפירוט:*
רק %‏46 מהתלמידים ענו נכון על תרגיל חילוק בשברים פשוטים. ___ = ‏15 / 4 + 53 / 8
(J-12)
על השאלה מהו הערך של ___ = ‏12 / 1 - 4 / 1 - 3 / 2 ענו נכון %‏ 16; %15 מהמשיבים
התייחסו רק לשלב אחד של התרגיל ושכחו לחסר את ‏12 / 1 , כלומר את המחסר השני.
(L-17)
בתרגיל נשאלו התלמידים איזה מבין המספרים הבאים: ‏8 / 5 , 4 / 3 , 5 / 4 , 10 / 7 הוא הגדול
ביותר. רק %‏47 ענו נכון ש- ‏5 / 4 הוא המספר הגדול ביותר ו- %‏40 בחרו ב- ‏4 / 3 כמספר
הגדול ביותר.
(M-04)
על השאלה איזה מבין המספרים ‏0.625, 0.25, 0.375, 0.5, 0.125 הוא הקטן ביותר ענו נכון
%‏37. %46 טעו, ובמקום לסמן את השבר הקטן ביותר סימנו את השבר הגדול ביותר.
(B-10)
על השאלה איזה מבין המספרים הבאים ‏0.00075, 0.0075, 0.075, 0.75 נמצא בין ‏0.07
ל-‏0.08 ענו %‏62 נכון. %‏19 ענו כי ‏0.75 נמצא בין שני מספרים אלה. השאלה מצריכה הבנה
בסיסית במשמעות השבר העשרוני. התלמידים ששגו לא הבחינו בין מאיות, אלפיות ועשיריות
ושמרו על תבנית של שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.
(F-09)
בתרגיל החילוק, ‏24.56:0.004, התשובות האפשריות היו: ‏0.614, 6.14, 61.4, 614, 6140.
%‏19 ענו שהמנה היא ‏6.14. %55 ענו נכון. אחוז ההצלחה הנמוך מצביע על קושי בחילוק מספר
עשרוני במספר עשרוני. ראוי לציין כי תרגיל זה הוא מהקשים ביותר בנושא הוראת השבר
העשרוני. התלמידים טעו ולא הרחיבו את המחולק על פי המחלק וכן לא הפעילו שיקול דעת של
סדר גודל, או אומדן של תשובה נכונה.
(J-14)
פריט זה הוא שאלה רב-שלבית הכוללת פעולות כפל, חיבור וחיסור. הטעות הנפוצה של %‏35
מהתלמידים נבעה מכך שהם ענו על שאלה חלקית כעל תשובה סופית. %‏41 ענו נכון על השאלה
במלואה.
(N-17)
בתרגיל זה התבקשו התלמידים לעגל למאיות את המספר ‏89.0638. %32 עיגלו נכון. %‏ 32
מאלה ששגו לא הבינו מה הכוונה לעגל למאיות ועיגלו לאלפיות.
(O-04)
בשאלה זו התבקשו התלמידים לסדר ‏4 שברים (‏3 עשרוניים ואחד פשוט) מהמספר הקטן למספר
הגדול, בקריאה משמאל לימין. כדי לענות על השאלה, היה צריך לדעת להפוך שבר פשוט לשבר
עשרוני, או להפוך שבר עשרוני לשבר פשוט ולמצוא מכנה משותף. %‏ 34 ענו נכון, בעוד ש-%‏41
התעלמו כנראה מההנחיה. ייתכן ששגו כי קראו מימין לשמאל.
(Q-08)
על התרגיל: ___ = ‏8 / 11 + 3 / 8 + 4 / 3 ענו נכון %‏ 16. %20 מהתלמידים ששגו ענו כי סכום
שלושת השברים הפשוטים הוא שבר שהמכנה שלו הוא סכום המכנים והמונה שלו הוא סכום
המונים - כלומר התשובה לדעתם היא ‏15 / 22
(K-09)
בפריט זה נעשה שימוש במושגים: מחצית, שליש ויתרה. %‏41 ענו נכון. %‏ 33 התעלמו כנראה
מהמילה נותר וענו על שאלה שלא נשאלה.
(N-16)


חמשת הפריטים (I-07), (J-17), (K-06), (L-08), (O-02) שעסקו באומדן, היו קשים לתלמידים.
בייחוד התקשו התלמידים בפריטים שבהם היו משולבים גם אחוזים. טעות נפוצה הייתה התשובה
לשאלה מהו האומדן הגרוע. לעומת זאת היטיבו התלמידים להשיב על שאלות שבהן ניתן היה לבצע
חישוב.

לסיכום, נמצא כי התלמידים מתקשים בשאלות שעוסקות בהשוואת שברים, באחוזים ובאומדן.
בתרגילים שעוסקים במספרים עשרוניים הם מפגינים שליטה טובה בפעולות החיבור והחיסור, אולם
בפעולות הכפל והחילוק הם מצליחים פחות. התלמידים לא נותנים לעתים את הדעת להנחיות המלוות
את השאלות כמו: לקרוא משמאל לימין, לסמן כינויים נכונים וכן לשים לב לעובדה שיש שאלות
מורכבות המכילות כמה שלבים.

ב. גיאומטריה

נושא זה כולל ‏23 פריטים, ‏4 מהם עוסקים בחפיפה ו-‏2 בדמיון. (על פי תכנית הלימודים, דמיון נלמד
בכיתות ט'-י'.)

(J-15) התלמידים נתבקשו להצביע על צמד משולשים דומים מתוך ‏4 משולשים נתונים. %‏49 ענו נכון.
%‏44 טעו ובחרו בצמד מסוים של משולשים שאינם דומים, כנראה בגלל תנוחתם.

(J-16) במערכת קואורדינטות נתונה, %‏38 שגו והחליפו בין ציר X לציר Y.

(%J-11) 19 לא ידעו שאין זה מספיק שלמקבילית יהיו רק "זוג צלעות נגדיות מקבילות".

(G-03) במערכת נתונה של ‏2 ישרים נחתכים נתבקשו התלמידים לחשב סכום זוג זוויות קדקודיות.
%‏55 ענו נכון, בעוד ש-%‏30 בחרו במסיח המייצג גודל של זווית קדקודית אחת בלבד.

ג. אלגברה

בפרק זה היו הישגי התלמידים בכיתות ח' בארץ טובים בהרבה מהציון הממוצע של ‏41 המדינות
המשתתפות. הפריטים באלגברה (‏27 במספר) כללו משוואות לינאריות וחישובים אריתמטיים. גם בפרק
זה ענו למעלה מ-%‏15 מהתלמידים רק על חלק מהשאלה בפריטים הרב-שלביים:
שאלה מילולית שבה %‏ 42 שגו והסתפקו בתשובה לשאלה כמה עפרונות יש לקבוצת תלמידים
בעלי ‏2 העפרונות, ולא התייחסו לשלב הבא שבו נשאלו כמה תלמידים כאלה יש.
(R-11)
ניתנו חמישה פסוקים העוסקים בחוק החילוף וחוק הקיבוץ בפעולות חיבור, חיסור וכפל, שאחד
מהם שקרי. %‏ 81 בחרו בפסוק (ad)c=a(bc) כפסוק שקרי.
(R-09)
___ = x - 9 / x2 / 9 עוסק בחיסור שני שברים בעלי מכנה שווה. %‏ 81 בחרו במסיח המציג את
הפרש המונים, כלומר בחרו ב- x כתשובה נכונה.
(Q-02)

ד. הצגת נתונים וניתוחם והסתברות

בפרק זה ‏21 פריטים מתוכם ‏7 בהסתברות. ההסתברות היא נושא הכלול בתכנית הלימודים, אולם לא
תמיד הוא נלמד בבתי הספר בכיתות ח'. למרות זאת מעניין למצוא כי אחוז התשובות הנכונות נע בין
%53‎-%‏74. הישגים גבוהים יותר יש בפתרון פריטים העוסקים בהצגת נתונים וניתוחם. שם אחוז
התשובות הנכונות נע בין %64‎-%‏89, למעט ב-‏4 פריטים שבהם נדרשים התלמידים לקרוא גרפים.
בפריטים אלה נתקלו התלמידים בקשיים, לדוגמה בפריט (M-9) שבו ניתנים ארבעה תיאורים גרפיים,
שאחד מהם מתאר נכון עלות השכרת אופניים בזמן נתון. %‏33 ענו נכון. %‏27 שגו: למרות שהבינו
שקיים קצב עלייה, הם התעלמו מקפיצות המחיר ומן העובדה שבתחומים מסוימים הפונקציה היא
קבועה.